Trong lý thuyết số, bổ đề Euclid là một bổ đề nắm một thuộc tính cơ bản của số nguyên tố, đó là:[note 1]Bổ đề Euclid — Nếu một số nguyên tố p chia hết tích ab của hai số nguyên a và b, thì p phải chia hết cho tối thiểu một trong các số nguyên a và b.Ví dụ, nếu p = 19, a = 133, b = 143, thì ab = 133 × 143 = 19019, và vì tích này chia hết cho 19, theo bổ đề thì một trong hai hoặc cả hai số 133 hoặc 143 cũng phải chia hết cho 19. Thật vậy, 133 = 19 × 7.Vốn dĩ, nếu điều kiện của bổ đề không được thỏa mãn, chẳng hạn như nếu p là một hợp số, kết quả sẽ có thể là đúng hoặc sai. Ví dụ, trong trường hợp p = 10, a = 4, b = 15, hợp số 10 chia hết tích ab = 4 × 15 = 60, nhưng 10 không chia hết 4 hay 15.Tính chất này cần thiết cho chứng minh của định lý cơ bản của số học.[note 2] Nó được dùng để định nghĩa phần tử nguyên tố, một tổng quát hóa của số nguyên tố cho các vành giao hoán bất kỳ. Bổ đề Euclid cho thấy rằng đối với tập số nguyên các phần tử tối giản cũng là phần tử nguyên tố. Chứng minh định lý sử dụng quy nạp nên nó không áp dụng với tất cả các miền nguyên.